수학 - 쓸만한 부등식 하나(증명 포함)

이거 오늘 숙제하다가 발견한건데...

어쩌면 가끔가다 한번씩 쓸지도 모르겠다...물론 일종의 정리는 아니라서 자주 쓰지도 못하고 매번 쓸때마다 증명도 해야 할것 같은데... 그래서 부등식이랑 증명이랑 다 써놓으려고 한다.

ai ,bi > 0 ,

a1^2 / b1 + a2^2 / b2 + ... + an^2 / bn  

>= (a1 + a2 + ... + an)^2 / (b1 + b2 + ... + bn)

여기서 등식이 성립하는 조건은

a1 / b1 = a2 / b2 = ... = an / bn

증명방법은 아래와 같다(수학적 귀납법을 사용해야 것다)

1) 우선 n=2일때, a1^2 / b1 + a2^2 / b2 >= (a1 + a2 )^2 / (b1 + b2 )

  이거 빼기 한번 해보면 그냥 나온다.... 등호 성립 조건도 그냥 나온다... 고로 증명 생략.

2) n=k일때 성립한다고 가정하자.

3) n=k+1일때,

 a1^2 / b1 + a2^2 / b2 + ... + ak+1^2 / bk+1

= (a1^2 / b1 + a2^2 / b2 + ... + ak^2 / bk) + ak+1^2 / bk+1

>= (a1 + a2 + ... + ak)^2 / (b1 + b2 + ... + bk) + ak+1^2 / bk+1

>= [(a1 + a2 + ... + ak)+ak+1]^2 / [(b1 + b2 + ... + bn)+bk+1]

= (a1 + a2 + ... + ak+1)^2 / (b1 + b2 + ... + bk+1)

이 과정에서 모든 부등식들은 다 1)과 2)에 근거한 것이고 등식들은 그냥 간단한 정리에 불과하다...

고로 n=k+1일때도 부등식은 성립하고...

고로 수학적 귀납법에 의거하여 이 부등식은 성립한다!

음...이 부등식이 어디에 쓰일까나....

사실 쓸대가 별로 없어서 정리가 안되어 있는거 같기도 하다...

하지만 쓸곳은 있는법!

a1+a2+...ak 나 b1+b2+...+bk가 상수일 경우에 이 부등식을 쓰면 엄청 유용하다~ㅋ

나도 이번숙제에서 덕을 많이 본~ㅋ